IMAJINASI SIMBOL MATEMATIKA

Dulu sekitar tahun 1880an, Galton menemukan bahwa setiap orang sangat berbeda imajinasi mentalnya. Beberapa orang seperti dirinya sendiri, memiliki imajinasi visual yang kuat; yang tidak memilikinya, berpikir melalui kata-kata. Inilah yang terjadi selama ini; dan ada juga individu yang dapat melakukan keduanya, berpikir untuk menentukan pilihan pada beberapa kemampuan. (hal ini tidak benar, bagaimanapun juga, mudah untuk memutuskan imajinasi apa yang digunakan orang itu, atau bahkan mereka memiliki keduanya, imajinasi visual dan imajinasi verbal.) Dalam bab ini kita akan mempertimbangkan dua jenis simbol yang digunakan dalam matematika, visual dan verbal; keduanya merupakan imajinasi mental, dan hal lain yang ditandai dengan simbol.

Simbol Visual dan Simbol Verbal

Pertama, penggunaan istilah simbol perlu penjelasan lebih lanjut; karena ketika kata-kata dituliskan kata-kata itu menjadi sesuatu yang dilihat, bukan didengar. Namun demikian kata-kata adalah simbol yang berhubungan dengan pendengaran, dan cara mengkomunikasikannya adalah ucapan, bukan tulisan. Jadi simbol verbal dapat kita akan artikan sebagai kata yang diucapkan dan kata yang dituliskan.

Simbol visual jelas dicontohkan dengan diagram, khususnya gambar bentuk-bentuk geometri. Tetapi ke dalam kategori mana kita harus meletakkan simbol aljabar seperti ini?

Pada dasarnya ini adalah stenografi lisan. Tulisan ini dapat dibaca dengan jelas, atau dikomunikasikan tanpa melihat bentuk visual. Yang pertama dibaca sebagai ”Integral a sampai b dari sin x dx”; dan yang kedua sebagai ”himpunan semua nilai x sedemikian hingga x² lebih besar atau sama dengan nol”. Keuntungan dari notasi-notasi aljabar tersebut adalah, pertama, singkatan ini – menghemat waktu dan mengurangi kesalahan serta menambah kejelasan dan kekuatan karena ide-ide yang dipertahankan muncul dalam waktu yang singkat. Tetapi singkatan ini lebih bermanfaat. Mungkin ada sedikit kecenderungan untuk membacanya; kemudian memberikan aspek visual. Tetapi dalam pembicaraan yang sering digunakan, simbol aljabar dan simbol verbal biasa digunakan daripada diagram dan gambar geometri. Contoh pernyataan yang sesuai, adalah “Jika p adalah bilangan prima, dan  atau ” (“jika p adalah bilangan prima, dan p membagi habis ab maka p membagi habis a atau p membagi habis b”).

Kedua simbol, visual dan verbal digunakan dalam matematika  secara bersamaan maupun terpisah. Oleh karena itu, kita menemukan diagram-diagram dengan penjelasan verbal dan, bentuk perhitungan-perhitungan trigonometri; kita menemukan kurva disertai persamaannya; tetapi kita juga menemukan bentuk aljabar tanpa gambar atau diagram. Hal itu terlihat seolah-olah simbol verbal (termasuk aljabar) sangat diperlukan , tetapi simbol visual tidak.

Meskipun terkadang simbol-simbol tidak dibutuhkan, namun tidak ada keraguan bahwa simbol visual sangat berguna dan mungkin simbol visual lebih dapat dimengerti daripada simbol verbal dalam bentuk aljabar.

Sudah sepantasnya jika fungsi-fungsi yang disimbolkan dengan dua cara yang berbeda, mungkin saling melengkapi. Ingat pada pembahasan simbol di Bab V, tentang manfaat simbol. Pada bagian yang membahas fungsi simbol matematika ini yang penting sekali. Sehingga, beberapa sajian tentang bagaimana memilih dan menggunakan simbol dan menemukan satu yang baru akan memberikan nilai sangat baik.

Simbol visual kelihatannya menjadi dasar, paling tidak dalam menyajikan bentuk yang sederhana untuk menunjukkan obyek yang sesungguhnya. Seperti yang ditunjukkan Piaget, sekalipun persepsi kita terhadap sebuah obyek termasuk di dalamnya sebuah bentuk konsep. Ketika kita melihat beberapa obyek dari sudut pandang tertentu dalam kesempatan tertentu, pengalaman ini menimbulkan ingatan pada pengalaman-pengalaman yang lalu sebagai sebuah abstraksi terhadap sesuatu. Kita mengakui pada saat kita menemukan sebuah obyek baru tidak berdasarkan pada data masukan tetapi pada konsep obyek yang diperoleh. Jadi sebuah gambaran visual, atau sebuah representasi, dari sebuah obyek lebih baik digambarkan sebagai simbol; walaupun konsep obyek ini merupakan aturan yang digunakan dalam matematika. Berdasarkan sifat visual dari sebuah obyek kita lebih mudah menggambarkannya selama digambarkan oleh simbol visual daripada simbol verbal.

Untuk contoh matematika, pertimbangkan diagram ini, yang mewakili sebuah blok tinggi pada flats yang berdiri di atas tanah. Untuk tujuan saat ini kami hanya tertarik dalam bentuk dan tingginya.

 

Selanjutnya kita merepresentasikan pengamatan seorang surveyor. Dari sudut ketinggian dari atap bangunan, diambil pada jarak 100 meter dari bawah. Yang menarik untuk dicatat adalah surveyor itu sendiri adalah observasinya direpresentasikan oleh simbol tertentu (titik dan garis) pada saat pengukuran, dan tinggi yang tidak diketahui diwakili oleh simbol aljabar verbal.

 

                                                                                                 h

30⁰

                              100 m

Tentu saja kita membutuhkan kedua, dan sesegera melakukan perhitungan lalu melengkapinya .

h = 100 tan 30⁰

Meskipun demikian  diagram sangat membantu untuk mewakili keseluruhan struktur masalah. Itu memberikan  konteks darimana perhitungan secara khusus diperlukan untuk diabstraksikan.

Meskipun lebih mendasar, gambaran visual lebih sulit dikomunikasikan daripada yang lain. Untuk yang terakhir, yang harus kita lakukan adalah mengubah pemikiran vokal kita ke dalam ucapan. Tetapi untuk mengkomunikasikannya kita harus menggambar, melukis atau membuat sebuah film. Ini memberikan pemikiran verbal lebih memberi keuntungan dari pada visual. Lebih jauh lagi, sebuah pemikiran sangat berhubungan dengan penggunaan simbol. Pemikiran yang sama diperoleh bersamaan dengan kesadaran, tentu saja, simbol yang digunakan mempunyai perkiraan arti yang sama untuk keduanya. Jadi ketika membicarakan pemikiran kita kepada orang lain, kita juga mengkomunikasikan pemikiran tersebut kepada diri kita sendiri.

Pemikiran yang disosialisasikan

            Dari sini dapat dikatakan bahwa pemikiran verbal kita lebih mudah untuk disosialisasikan, hal itu memperluas hasil akhir tidak hanya pemikiran kita tetapi juga hal lain, dan interaksi keduanya. Untuk melihat sesuatu, secara harafiah, dari sudut pandang orang lain, seharusnya kita berdiri di tempatnya, atau menerima gambaran darinya, mengingat dia dapat mengatakan pada kita apa yang dia lihat, dan kita dapat mendengar suara yang sama pada saat berdiri pada tempat yang berbeda dan melihat arah yang berbeda. Pada sesuatu yang nyata, penglihatan bersifat individu, pendengaran bersifat kolektif. Dan ini menarik untuk diperhatikan, ketika kita sangat berharap untuk menegaskan aspek individu daripada aspek kolektif, kita berbicara tentang sebuah ”sudut pandang”. Bahkan ”aspek” adalah sebuah perubahan visual. Jadi perbedaan antara dua jenis simbol ini, adalah sebagai berikut:

Visual     : lebih sulit diutarakan, lebih individual.

Verbal    : lebih mudah diutarakan, lebih kolektif.

            Manusia adalah makhluk sosial; dan manfaat dari komunikasi sangatlah besar, adapun keunggulannya, sebagaimana dinyatakan sebelumnya, dari pemikiran verbal dapat dijelaskan berdasarkan pada dasar-dasar di atas. Tapi manfaat dari komunikasi merupakan hal yang kebetulan (kita memiliki loudspeaker, tapi tidak memiliki proyektor gambar) dan tidak timbul dengan sendirinya secara alami simbol-simbol itu. Memang, kadangkala dikatakan bahwa ”sebuah gambar sama dengan seribu kata”. Jika memang demikian, maka dari pada menulis buku (sekitar 90.000 kata), penulis akan lebih baik menghabiskan waktu dengan membuat 90 gambar. Dengan teknik reproduksi modern, maka publikasi tidak memiliki kesulitan apapun. Lebih lanjut, kata-kata yang ditulis kehilangan manfaat dari interaksi antara, pendengar dan pembicara. Jadi apakah menulis buku dan membacanya, bukannya menggambarnya dan melihat gambaran tersebut, hanyalah sekedar kebiasaan yang diambil dari kebiasaan percakapan dan diskusi? Ataukah juga terdapat manfaat-manfaat intrinsik di dalam simbol jenis verbal-aljabar?

Simbol-simbol visual di dalam geometri

            Geometri menunjukkan bahwa dirinya merupakan konteks yang menguntungkan untuk menyelidiki pertanyaan, karena merupakan salah satu cabang matematika dimana diagram tampaknya merupakan bagian yang penting. Kita harus mencatat bahwa simbol yang dilibatkan disini lebih abstrak daripada representasi visual dari sebuah objek. Bahkan foto dari sebuah objek hanya menunjukkan aspek tunggal, dan untuk memperluas hal tersebut akan membangkitkan konsep dari objek sebagai sesuatu dari keseluruhan, dapat dijelaskan sebagai sebuah simbol untuk objek. Abstrak presentasi lainnya lebih lanjut, biasanya menunjukkan bentuk, warna, tekstur, ukuran. Tingkat abstraksi lainnya dapat ditemukan di dalam gambaran yang mewakili, bukan sebuah objek secara khusus.

            Sebuah perbedaan penting antara kedua jenis simbol, foto dan kata, adalah yang satu lebih tampak sebagai objek tipikal dari set/rangkaian yang diwakilinya, dimana yang satunya lagi tidak tampak seperti itu. Jadi simbol visual ini, pada tingkat apapun, memiliki hubungan yang lebih erat dengan konsep daripada dengan simbol verbal. Hal yang sama berlaku bagi simbol-simbol geometris. Berikut ini adalah simbol geometris:

 

Simbol verbal dari simbol geometris diatas adalah lingkaran. Persamaan simbol geometris dengan konsepnya memiliki kelebihan dan kekurangan. Manfaatnya adalah menimbulkan sifat-sifat konsep. Hal ini terjadi ketika kita menggambarkan secara visual beberapa konsep secara bersama-sama. Diagram tersebut menjelaskan pada kita hubungan antara konsep daripada representasi verbal dari konsep yang sama dengan lebih jelas.

            Sebuah lingkaran demgan dua garis singgung dari suatu titik diluar lingkaran; dan jari-jari melalui titik-titik singgung dari kedua garis singgung tersebut.

 

Sebuah ketidakuntungan karena simbol visual harus digambarkan supaya dapat dikomunikasikan. Ingat, bahwa simbol itu tidak menyajikan suatu lingkaran tertentu, garis singgung dan lain-lain. Tetapi menyajikan variabel-variabel suatu lingkaran. Bukan pula sebuah lingkaran dengan jari-jari dan diameter seperti yang terlihat.

Alasan-alasan penyajian secara Visual

Contoh berikut menyatakan bahwa mungkin saja kita tetap menggunakan simbol visual dengan keuntungannya lebih dari yang kita lakukan dalam penyajian. Dengan beberapa konvensi sederhana, diagram tersebut tersampaikan dengan jelas dan nyata.

1. Garis singgung lingkaran dari suatu titik yang berada di luar lingkaran adalah sama panjangnya. (Perhatikan  bahwa diagram juga menunjukkan bagian-bagian dari garis singgung yang kita maksudkan).

 

2. Sudut luar dari sebuah segitiga adalah jumlah dari sudut-sudut dalam yang berhadapan. (ini pernyataan umum. Kita mengatakan “obyek”, dan “ukuran obyek” adalah gagasan berbeda. Di dalam diagram, sudut ditampilkan oleh sepasang garis, dan ukurannya dengan huruf. Dan siapa yang akan tahu sudut yang mana yang kita maksud dengan 'eksterior’ dan 'interior yang berlawanan tanpa diagram? Di sini pernyataan lisan lebih rendah dari pernyataan visual .)

 

3. Kita dapat juga menunjukkan teorema dan konversnya. Sudut di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

 

Di sini,=> berarti 'implikasi'. Gambar bagian kiri menunjukkan data yang menggunakan kesepakatan dimana suatu titik yang digambarkan di pusat lingkaran sesungguhnya mewakili pusat. Gambar bagian kanan mewakili kesimpulan yang diperoleh dengan menggunakan teorema dari data yang ada.

Konvers dari teorema ini juga benar. Jika talibusur suatu lingkaran yang berhadapan dengan suatu sudut siku-siku pada keliling lingkaran, talibusur itu adalah diameter. (lihat Diagram pada bagian atas halaman 103.)

 

Dengan penggunaan tanda ó untuk biimplikasi, kita dapat menghadirkan secara bersamaan teorema dan konversnya.

 

Sejauhmana, pernyataan visual lebih jelas dan singkat. Berbagai kesulitan muncul ketika ingin melakukan lebih dari dua hal memberi bukti logis, dan mengarahkan perhatian ke bagian-bagian tertentu dari diagram. Teorema diatas merupakan kasus kecil berikut.

4. Ukuran sudut pada pusat lingkaran dua kali ukuran sudut pada keliling yang menghadap pada busur yang sama.

1. Tanda bukti teorema menunjukkan agar kita mempertimbangkan

            garis ini

2. Seperti sudut dengan ukuran 2 siku-siku, yang mempunyai

           puncak disini                                                  pada tengah-tengah lingkaran.

 

3. Teorema memberi tahukan kita bahwa sudut ini

            adalah dua kali sudut ini.

 

4. Tetapi ukuran sudut ini dua kali sudut siku-siku

            Jadi ukuran pada sudut ini adalah salah satu sudut siku-siku.

5. Penggunaan kata-kata yang lain mengisyaratkan klasifikasi baru kepada pembaca; sebagai contoh, bahawa suatu garis lurus boleh dianggap sebagai sudut khusus. Ini dapat juga ditunjukkan secara visual.

   

Itu langkah lebih panjang, tetapi lebih jelas. Ada suatu kemiripan tertentu gambar kartun ; dan jika seseorang mempunyai bekal  untuk maju setahap demi setahap dan membuat gambar yang bergerak, seperti melihat acara televisi, maka penyajian secara visual dapat memberikan keuntungan-keuntungan. Apakah yang menjadi tahap-tahap dari animasi seperti itu? Berikut adalah salah satu kemungkinan. Perhatikan gambar pertama  yang menunjukkan data.

 

Untuk perbandingan, disini ada bukti konvensional pada teorema yang sama.

Data :    AOB adalah diameter pada lingkaran, dengan titik pusat O.

              P adalah titik pada keliling lingkaran.

Untuk membuktikan  bahwa                        :  APB = 1 < siku-siku

Bukti             :  

AOB = 2 <APB (<pusat = dua kali < keliling lingkaran)

Tetapi AOB = 2 < siku-siku (karena AOB adalah suatu garis lurus)

Jadi <APB = 1 < siku-siku  (TERBUKTI)

Disini kita menggunakan huruf sebagai petunjuk. Ketika huruf ditemukan di dalam bukti verbal-algebraic, kemudian kita menjumpai huruf ini di dalam diagram, untuk  menujukkan kepada kita mana yang harus dilihat. Ini lebih baik dibanding menggunakan panah pada halaman 104, dan menghemat penggambaran diagram. Mana yang lebih mudah untuk diikuti, pembaca harus memilih. Bagaimana pendekatan ”gambar-paralel” memecahkan bukti lebih rumit?

6.  Satu contoh lebih lanjut; sebuah bukti pada teorema yang lebih umum dari yang sudah kita sebutkan terdahulu .

Teorema:

 

           Pembuktian:

                                                           

 

                                                   b

 

Apakah ini lebih jelas daripada pembuktian verbal – aljabar , atau apakah pada kasus lain memang tidak ada kata yang bisa digunakan untuk pembuktian? Dewasa ini, sistem yang terakhir lebih mendominan; dan tujuan utama dari uraian diatas adalah menjawab pertanyaan mengenai “keadaan yang dihadapi”(fait acompli), dan menguji kontribusi tertentu dari simbolisme visual.

Dua Sistem Dalam Konjungsi

Menurut sejarah, sebuah  penggabungan dua sistem ini berasal dari Descartes. Sebarang titik pada sebuah bidang ditentukan oleh jarak dua garis (pada umumnya tegak lurus); yang dituliskan sebagai sebuah pasangan. Koordinat adalah sebutannya, mungkin positif atau negatif.

 

Titik variabel dihubungkan dengan sepasang variabel numerik, dan suatu himpunan dengan properti karakteristik yang ditentukan, jarak mereka selalu sepadan dengan r, direpresentasikan semua persamaan yang dipenuhi oleh pasangan koordinat (x, y). Rata-rata kurva ini sulit ditampilkan secara aljabar: bentuk lonjong/elips, bentuk garis edar planet yang mengelilingi matahari, parabola, bentuk reflektor memberi berkas cahaya paralel (seperti lampu depan mobil); atau sinar jauh yang terkonsentrasi sampai batas (seperti teleskop radio).

 

Dan himpunan titik-titik dengan syarat yang diberikan yaitu jarak titik-titik itu dari O selalu sama dengan r digambarkan dengan sebuah persamaan yang memenuhi semua pasangan koordinat (x,y).

Ini berarti kurva-kurva dapat dinyatakan secara aljabar, yang sulit digambarkan dengan tepat misalnya sebuah elips, bentuk dari orbit planet yang mengelilingi matahari.

 

Sifat umum dan metris keduanya dapat diselesaikan dengan cara ini: sifat umum, dengan menggunakan relasi-relasi umum antara koordinat-koordinat variabel; dan sifat-sifat metris, dengan memberi nilai-nilai kuantitatif tertentu pada variabel ini. Apa kelebihan dari perlakuan secara aljabar pada geometri adalah kekuataan besar dari manipulasi, dan melebihi ketepatan yang dapat dicapai dengan menggambar secara akurat dengan skala dan pengukuran gambar itu. Tetapi kita masih memerlukan gambar untuk menunjukkan bagaimana bentuk secara keseluruhan. Sebagai contoh, tidak jelas dari persamaan kurva yang ditampilkan oleh y² = 4ax menghilang di kejauhan, di dalam dua arah; atau yang ditampilkan  bergabung kembali dengan dirinya sendiri; atau suatu perubahan tanda sederhana yang akan memberi kita pengetahuan yang berbeda.

 

Tidak ada penyajian yang lebih baik yang ditunjukkan oleh fakta kalau kita sering menggunakan metode yang terbalik. Tidak hanya dengan kurva, tapi kita dapat mulai dengan konsep aljabar, yang berupa fungsi, dan menghadirkannya dengan jelas.

 

Ide mengenai suatu fungsi matematika adalah fungsi yang menyatakan bagaimana benda-benda dalam suatu himpunan berkorespondensi dengan yang lain; sebagai contoh, bagaimana kita menemukan jarak tempuh suatu obyek jika kita mengetahui waktu; bagaimana arus dari suatu sirkuit dapat ditentukan jika kita mengetahui voltasenya. Fungsi dapat ditampilkan dalam berbagai cara, mencakup grafik dan persamaan.

Karena temuan individu memiliki keterkaitan, persamaan sangatlah tepat. Misal, jika d meter adalah jarak yang ditempuh oleh seseorang dalam kondisi terjun bebas di bawah pengaruh gaya gravitasi (dengan mengabaikan resistensi udara), dan t waktu sekon saat jatuh, maka d = 4.9 t². Sehingga jarak jatuh setelah 1 detik/second adalah 49 x 1 meter, setelah 2 detik adalah 49 X 1 meter, dan seterusnya. Dengan mengambil (t, d) sebagai koordinat Cartesian kita dapat menunjukkan secara grafis fungsi secara keseluruhan. 1tu dibahas secara lebih panjang di dalam Bab 14.

 

Perbandingan Dua Jenis Simbol

Pada saat tertentu kita melakukan rangkuman perbandingan, dan secara garis besar sifat-sifat dari kedua jenis symbol tersebut saling melengkapi.

Verbal	Visual
·      Sifat  abstrak yang bebas dari konfigurasi spasial, seperti misalnya bilangan. ·      Lebih mudah dikomunikasikan. ·      Dapat mewakili pemikiran sosial. ·      Analitis, menunjukkan detail. ·      Sekuensial (berurutan). ·      Logis.	·       Sifat spasial abstrak, seperti misalnya bentuk, kedudukan. ·       Lebih sulit dikomunikasikan. ·       Dapat mewakili pemikiran yang lebih individual. ·       Integratif, menunjukkan struktur. ·       Simultan (serempak). ·       Intuitif.

Sifat-sifat yang dapat dikomunikasikan dan disosialisasikan, dari sistem aljabar verbal ialah memberikan suatu kontribusi pada keunggulannya dibanding sistem visual. Namun mana kala kita ingin menyajikan struktur secara keseluruhan dari beberapa pokok bahasan, argumen, atau situasi, simbolisasi visual kembali dipakai, seperti dalam struktur organisasi (dari perusahaan hingga tim sepak bola), diagram alir, dan asal-usul/pohon keluarga. Nilai dari simbolisasi visual  juga ditunjukkan dengan cara menyatakan secara gamblang dalam simbol aljabar, dalam wujud pengaturan ruang dari lambang tertulis. Ketika dituliskan, maka simbol-simbol itu muncul secara serempak dan pengatura urutannya dikembalikan dengan membaca sepintas dalam suatu urutan yang telah disepakati. Kita dapat melihat permulaan dan kesimpulan dari suatu argumentasi, sebelum melakukan pengamatan secara rinci. Kita dapat menyimpulkan kapan pun kita ingin, dan ini seringkali menjadi lebih penting ketika argumentasi dilibatkan. Dengan kata lain, verbal/lisan, ketika sudah dituliskan, menunjukkan keseluruhan struktur tambahan pada implikasi rangkaian – logika di dalam struktur; dan dapat diteliti dengan cara-cara lain selain cara konvensional dari kiri ke kanan, dari atas ke bawah.

Simbolisme spasial mengungkapkan caranya ke dalam setiap rincian verbal – sistem aljabar.

1.      Posisi dari angka                                 2               7                 3

     membantu menunjukkan angka          2 ratusan, 7 puluhan,   3 satuan.

     yang diwakilinya.

2.      Posisi menunjukkan angka mana yang didapatkan dari ,    9 — 5

           atau dibagi dengan                                                                  

3.      Posisi menunjukkan hubungan antara dua set,  1     2      3      4      5

            seperti dalam proporsi ini.                                  4     8      12     16     20

4.      Pengaturan spasialnya adalah properti penting dari sebuah matriks.

     a₁  a₂  a₃   a­₄

     b₁  b₂  b₃  b­₄

     c₁  c₂  c₃  c­₄

          banyak contoh lain bisa diberi.

Sebelum penutupan, dapat ditarik kesimpulan bahwa perbedaan individu dalam perumpamaan yang dicatat oleh Galton, dan disebutkan di permulaan. Jika kita berpikir bahwa perumpamaan visual yang paling baik adalah pada pengintegrasian gagasan; dan bukanlah suatu  kebetulan ketika kita pertama kali sadar bagaimana gagasan berhubungan satu dengan yang lain, kita mengacu pada pengalaman, bukan sebagai tambahan; kemudian kita membuat hipotesa bahwa orang menyumbangkan pemahaman matematika dan pemahaman ilmiah akan menggunakan visual  bukannya perumpamaan auditoris.

Analisa, argumentasi logis, dan pemikiran yang disosialisaikan sudah pada tempatnya, banyak dihargai di dalam matematika; tetapi kita juga memerlukan individu yang berpikir, pengertian yang mendalam, dan sintesis. Taraf tertentu yang terdahulu sepertinya mampu memberikan pengajaran, sekarang hanya dapat dicari. Jika kita dapat menemukan lebih banyak tentang fungsi dari dua jenis lambang yang dibahas di dalam bab ini, dan menjadi lebih terampil dalam memilih dan menggunakannya, kekuatan ini cukup baik untuk membantu kita mengembangkan dan menghubungkan dua aspek komplementer dari pemikiran matematika kita ini.